Martingale

Martingale Property

Martingale 의 정의는 위와 같다. $X_0, X_1, ...$ , random variable sequence 가 주어졌을 때, 다음과 같은 조건을 만족하는 random variable sequence $Z_0, Z_1,..$ 를 martingale이라 한다.

1. $Z_n$ 은 $X_0, ...X_n$ sequence로 구하는 함수이다. $f(X_0, ..., X_n)=Z_n$
2. $E[|Z_n|]$은 finite (유한하다.)
3. $E[Z_{n+1}| X_0, ..., X_n] = Z_n$

여기서 대표적인 martingale property는 3번이다. 3번 식의 의미는, 조건부 기댓값, $X_0, ..., X_n$ 의 sequence 가 주어졌을 때, $Z_{n+1}$ (next observation) 이 $Z_n$ (last observation) 과 같다.

해당 3번식의 등호가 ≥를 만족하면, Submartingale, ≤를 만족하면 Supermartingale 이다.

Example : Sequential fair games

$X_i$ 이 i번째 게임에서 얻는 점수라고 가정하자.

공정한 게임이라면, fair game의 기댓값, $E[X_i]=0$ 일 것이다.

$Z_i$ : gambler's total winnings at the end of the ith game. $X_0+X_1+...+X_i=Z_i$

이 때 $Z$ sequence 는 martingale 이다.

Proof)
E[Z_{i+1}|X_1, X_2, .., X_i] =
E[X_{i+1}+Z_i|X_1, X_2, .., X_i] = E[X_{i+1}|X_1, X_2, .., X_i] + E[Z_i|X_1, X_2, .., X_i]
= E[X_{i+1}]+Z_i = Z_i$

fair game이므로 $X_{i+1}$은 $X_1, .., X_i$ 와 독립이다. $Z_i$ 는 $X_1,...,X_i$ 를 통해 구해지는 값이므로 deterministic 하다. 따라서 위와 같이 $Z_i$ 는 martingale 함을 알 수 있다.

Doob's inequality

Doob martingale

• random variable 의 sequence $X_0, X_1, ..., X_n$ 가 주어졌다.
• random variable $Y$는 $X_0, ..., X_n$ 으로 정해지는 함수 값이다.
• $Z_i = E[Y|X_0, ..., X_i], i=0,1,...,n$

즉, 이전 martingale과는 다르게, $Z_i$ 는 $X_i$까지 sequence가 주어졌을 때 $Y$의 기댓값이다.

$Z_i$ 가 martingale임은 다음과 같이 증명할 수 있다.

$Y$는 $X$ sequence가 끝까지 주어졌을 때의 함수값이다. $Z_i$ 는 $X$ sequence 가 $i_{th}$ period 까지 주어졌을 떄 $Y$의 기댓값을 의미하므로, 이는 점점 $n$ period에 가까워질수록 $Y$가 deterministic 해짐을 알 수 있다.

$Z_0 = E[Y] , Z_n = Y (deterministic)$